拓撲學 (Topology)
拓撲學 (Topology) 研究空間在連續變形下保持不變的結構 (structure)，而不是距離 (distance)、角度 (angle) 或面積 (area)。它關心的是結構不變性 (structural invariance)：在不撕裂、不黏合的情況下，哪些性質仍然成立。 在分析學 (Analysis) 的語境中，拓撲學提供一個抽象框架，用以統一描述連續性 (continuity)、收斂
蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）
蒙地卡羅模擬（Monte Carlo Simulation）是一種以隨機抽樣為基礎的數值估計方法，其核心思想在於透過大量獨立樣本近似理論期望值。由於許多概率問題最終皆可被重寫為期望值形式，因此蒙地卡羅方法被廣泛應用於統計物理、機率推論、金融模型與人工智慧之中。本文從隨機抽樣、樣本平均與收斂性三個層次，討論蒙地卡羅模擬的概率結構與數值意義。 蒙地卡羅方法的核心並非解析求解，而是透過重複隨機抽樣近似理
邏輯學
邏輯學（Logic）研究形式推理（Formal Reasoning）的結構。數理邏輯（Mathematical Logic）提供描述命題、推理規則與真值結構的形式系統，是離散數學（Discrete Mathematics）與理論電腦科學（Theoretical Computer Science）的重要基礎。 邏輯系統通常從四個層面理解：語法（Syntax）、語意（Semantics）、證明理論（P
伯努利試驗（Bernoulli Trial）
伯努利試驗（Bernoulli Trial）是機率論中最基本的離散隨機模型，其核心並非建立複雜結果空間，而是將任意現象抽象為事件是否成立的二元結構。此種抽象使事件得以被概率化與統計化，進而形成離散概率模型的基本表示形式。大量統計模型與人工智慧中的二元決策問題，皆可被重寫為伯努利型態。本文從事件抽象、指示隨機變數與不確定性結構三個層次，討論伯努利試驗如何構成離散隨機性的理論起點。 伯努利試驗描述一次
向量空間中的歐幾里得距離與 L2 範數
歐幾里得距離（Euclidean Distance）是向量空間中兩點之間的直線距離，源自歐幾里得幾何，廣泛用於機器學習、統計分析及聚類演算法，用以衡量樣本之間的相似度。 直角三角形中斜邊的平方等於兩個直角邊的平方和，$c$ 為斜邊，$a$、$b$ 為直角邊，公式為 $$ c^2 = a^2 + b^2 $$ 由畢氏定理可推得平面與空間中兩點之間的直線距離，並可自然推廣至 n 維空間。對於兩個向量
特徵值與特徵向量運算方法(Eigenvalues and Eigenvectors)
第一步是解特徵方程式找到特徵值，第二步是根據特徵值找到對應的特徵向量。 給定一個 $n \times n$ 的方矩陣 $A$，若存在一個非零向量 $X$ 以及一個常數 $\lambda$ ，滿足以下公式 $$ AX = \lambda X $$ - $\lambda$ 為矩陣 $A$ 的特徵值（Eigenvalue） - $X$ 為對應於 $\lambda$ 的特徵向量（Eigenvector）
電腦科學數學：離散數學
筆記內容著重於電腦科學與人工智慧領域所使用的數學，依照概念、符號與公式整理重點脈絡，作為快速導讀、學習路線規劃與應用查找的直式索引。 用於標示元素或項目的位置。 $$ i \in \mathbb{N} $$ 有限索引區間上的加法運算。 $$ \sum{i=m}^{n} ai $$ 有限索引區間上的乘法運算。 $$ \prod{i=m}^{n} ai $$ 元素屬於集合的基本關係： $$ x \in
電腦科學數學：線性代數
筆記內容著重於，電腦科學與人工智慧領域所應用的數學，目的為快速導讀重點脈絡及公式，類似於直式的心智圖，有助於構思規劃學習路線，或是直接查找應用。 $$ A = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \end{bmatrix} $$ $$ A = \begin{bmatrix} a{11} \\ a{21} \\ a{31} \end{bmatrix} $$ $
電腦科學數學：微積分
筆記內容著重於電腦科學與人工智慧領域所使用的數學，依照概念、符號與公式整理重點脈絡，作為快速導讀、學習路線規劃與應用查找的直式索引。 序列依照索引排列元素；級數則為序列各項的和。對有限級數，可考慮前 $n$ 項和 $Sn$；對無窮級數，是否收斂由其部分和序列的極限決定。 等比級數的首項為 $a$，公比為 $r$。其前 $n$ 項和為： $$ Sn=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}
電腦科學數學：幾何學
筆記內容著重於電腦科學與人工智慧領域所使用的數學，依照概念、符號與公式整理重點脈絡，作為快速導讀、學習路線規劃與應用查找的直式索引。 給定方程式：y=5x - x 代表工作小時數。 - y 代表賺取的總工資 斜率（$m$）確實是兩點之間的變化率，表示的是垂直變化相對於水平變化的比例 而向量則同時具有大小和方向 $$ m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y2