AI 摘要

電腦科學數學：幾何學

筆記內容著重於電腦科學與人工智慧領域所使用的數學，依照概念、符號與公式整理重點脈絡，作為快速導讀、學習路線規劃與應用查找的直式索引。

直線方程式(Equations of Straight )

給定方程式：y=5x

• x 代表工作小時數。
• y 代表賺取的總工資

斜率（slope）

斜率（$m$）確實是兩點之間的變化率，表示的是垂直變化相對於水平變化的比例

而向量則同時具有大小和方向

$$m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$ $$m = \frac{60 - 40}{12 - 8} = \frac{20}{4} = 5$$

斜截式（Slope-Intercept Form）

可以透過 $b$ 來找到直線在 $y$ 軸上的交點

$$y=mx+b$$

可以轉換為一般式：

$$-mx + y - b = 0$$

代入已知點 $(8,40)$ 求出方程式，並求得截距 b

$$40=5(8)+ 0$$

兩點式/點斜式（Point-Slope Form）

重點: 一個點 $(x_1, y_1)$ 與m 求得方程式

$$y - y_1 = m(x - x_1)$$

可以轉換為一般式：

$$-m (x - x_1) + (y - y_1) = 0$$

帶入已知條件 $x_1, y_1, m$ 為必須通過的點

$$(x1,y1)=(0,0)\\.\\ y−0=5(x−0)\\ y=5x$$

截距式 (Intercept Form)

$$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

如果一條直線穿過 x 軸的 a=4和 y 軸的 b =6

$$\frac{x}{4} + \frac{y}{6} = 1$$

轉換一般式，兩邊同乘 12 消去分數

$$3x+2y=12$$

再移項得到一般式

$$3x+2y−12=0$$

畢氏定理（Pythagorean Theorem）

畢氏定理描述的是在直角三角形中，斜邊的平方，等於兩個直角邊的平方和

$$c^2 = a^2 + b^2$$

• $c$ 是斜邊的長度

• $a$ 和 $b$ 是直角邊的長度

在數學和統計中，希臘字母 $\mu$（讀作 mu）非常常見，常見用途如下：

三角函數（Trigonometric Functions）

單位圓定義

$$P(\theta) = (\cos\theta, \sin\theta)$$

• $\sin\theta = y$，$\cos\theta = x$
• $\tan\theta = \dfrac{y}{x}$（當 $x \neq 0$）

---