AI 摘要

電腦科學數學：微積分

筆記內容著重於電腦科學與人工智慧領域所使用的數學，依照概念、符號與公式整理重點脈絡，作為快速導讀、學習路線規劃與應用查找的直式索引。

極限、序列與級數

序列與級數（Sequences and Series）

序列依照索引排列元素；級數則為序列各項的和。對有限級數，可考慮前 $n$ 項和 $S_n$；對無窮級數，是否收斂由其部分和序列的極限決定。

無窮等比級數（Infinite Geometric Series）

等比級數的首項為 $a$，公比為 $r$。其前 $n$ 項和為：

$$S_n=a+ar+ar^2+\cdots+ar^{n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}ar^k$$

當 $r\neq1$ 時：

$$S_n=a\frac{1-r^n}{1-r}$$

收斂（Convergence）

當 $|r|<1$ 時，$r^n\to0$。因此部分和序列收斂：

$$\lim_{n\to\infty}S_n =\lim_{n\to\infty}a\frac{1-r^n}{1-r} =\frac{a}{1-r}$$

故無窮等比級數的和為：

$$\sum_{k=0}^{\infty}ar^k=\frac{a}{1-r},\quad |r|<1$$

發散（Divergence）

當 $|r|\geq1$ 且 $a\neq0$ 時，部分和序列不收斂，因此：

$$\sum_{k=0}^{\infty}ar^k$$

發散，不存在有限和。

導數與微分（Derivatives and Differentials）

若

$$y=f(x)$$

則 $f'(x)$ 或 $\frac{d}{dx}f(x)$ 表示 $f$ 對 $x$ 的導數。

導數的極限定義

在 $a$ 處的導數定義為：

$$f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

等價地，可寫為：

$$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

一階導數與臨界點（Critical Points）

若 $f'(c)=0$，或 $f'(c)$ 不存在而 $c$ 位於函數定義域內，則 $c$ 是臨界點。臨界點是極值可能發生的位置，但不必然是極值點。

可在臨界點左右的區間檢查 $f'(x)$ 的正負：

• 若 $f'(x)$ 由正變負，則 $c$ 為局部極大值點。
• 若 $f'(x)$ 由負變正，則 $c$ 為局部極小值點。
• 若 $f'(x)$ 未改變符號，則 $c$ 不為局部極值點。

二階導數與凹性

二階導數 $f''(x)$ 可用於描述函數的凹性。若 $f'(c)=0$ 且二階導數在 $c$ 存在：

• 若 $f''(c)>0$，則 $c$ 為局部極小值點。
• 若 $f''(c)<0$，則 $c$ 為局部極大值點。
• 若 $f''(c)=0$，二階導數檢定無法判定；需使用其他方法，例如一階導數符號變化或更高階導數。

導數運算規則

微分 $du$ 可視為 $u$ 在局部的一階線性近似；若 $u=f(x)$，則：

$$du=f'(x)\,dx$$

冪函數（Power Rule）

$$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

指數與對數函數（Exponential and Logarithmic Functions）

$$\frac{d}{dx}e^x=e^x$$ $$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$$ $$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$$ $$\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a}$$

常用指數規則：

$$e^a\cdot e^b=e^{a+b}$$ $$(e^a)^b=e^{ab}$$

加法法則（Sum Rule）

$$\frac{d}{dx}(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)$$

乘法法則（Product Rule）

$$\frac{d}{dx}(f(x)g(x))=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$$

商法則（Quotient Rule）

當 $g(x)\neq0$ 時：

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right) =\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{[g(x)]^2}$$

鏈鎖法則（Chain Rule）

$$\frac{d}{dx}f(g(x))=f'(g(x))g'(x)$$

偏微分（Partial Derivatives）

偏微分用於處理多變數函數；在深度學習的梯度計算與梯度下降中尤其常見。

例如：

$$f(x,y)=x^2+y^2$$

對 $x$ 偏微分時，將 $y$ 視為常數：

$$\frac{\partial f}{\partial x}=2x$$

對 $y$ 偏微分時，將 $x$ 視為常數：

$$\frac{\partial f}{\partial y}=2y$$

積分（Integration）

不定積分（Indefinite Integral）

不定積分表示導數的反運算。若 $F'(x)=f(x)$，則：

$$\int f(x)\,dx=F(x)+C$$

其中 $C$ 為積分常數。

基本積分規則

$$\int c\,dx=cx+C$$ $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C,\quad n\neq-1$$ $$\int e^x\,dx=e^x+C$$ $$\int\sin x\,dx=-\cos x+C$$ $$\int\cos x\,dx=\sin x+C$$ $$\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$$

代換積分（Substitution Rule）

令 $u=g(x)$，則：

$$\int f(g(x))g'(x)\,dx=\int f(u)\,du$$

常數倍法則（Constant Multiple Rule）

$$\int kf(x)\,dx=k\int f(x)\,dx$$

積分分部（Integration by Parts）

$$\int u\,dv=uv-\int v\,du$$

定積分（Definite Integral）

基本性質

$$\int_a^a f(x)\,dx=0$$ $$\int_a^b f(x)\,dx=-\int_b^a f(x)\,dx$$

微積分基本定理（Fundamental Theorem of Calculus）

若 $f$ 在 $[a,b]$ 上連續，且 $F'(x)=f(x)$，則：

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$$