2025-03-19

電腦科學數學：離散數學

筆記內容著重於電腦科學與人工智慧領域所使用的數學，依照概念、符號與公式整理重點脈絡，作為快速導讀、學習路線規劃與應用查找的直式索引。

記號與語言（Notation）

索引（Index）

用於標示元素或項目的位置。

i \in \mathbb{N}

聚合運算（Aggregation Operators）

總和（Summation）

有限索引區間上的加法運算。

\sum_{i=m}^{n} a_i

乘積（Product）

有限索引區間上的乘法運算。

\prod_{i=m}^{n} a_i

集合論（Set Theory）

集合與元素（Set and Element）

元素屬於集合的基本關係：

x \in A

全集（Universal Set）

特定問題範疇內的所有元素所形成的集合。

U

空集合（Empty Set）

不包含任何元素的集合。

\emptyset

基數（Cardinality）

集合中元素的數量。

|A|

例如：

A=\{0,1\},\quad |A|=2

有限集合（Finite Set）

若集合的元素數量有限，則可表示為：

|A|=n,\quad n\in\mathbb{N}

集合建構式（Set-Builder Notation）

依據條件定義集合：

A=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}

冪集（Power Set）

集合所有子集所形成的集合。

\mathcal{P}(A)

例如：

A=\{1,2\}

\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}

子集關係（Subset Relations）

子集（Subset）

A\subseteq B

表示 $A$ 的所有元素皆屬於 $B$ 。

真子集（Proper Subset）

A\subsetneq B

表示 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A\neq B$ 。

集合運算（Set Operations）

聯集（Union）

A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ or }x\in B\}

交集（Intersection）

A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\in B\}

差集（Set Difference）

A-B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\notin B\}

補集（Complement）

相對於全集 $U$ 的補集：

A^c=\{x\in U\mid x\notin A\}

笛卡兒積（Cartesian Product）

笛卡兒積描述集合之間的有序配對：

A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\;b\in B\}

由於配對具有順序，因此一般而言：

(a,b)\neq(b,a)

若 $A$ 與 $B$ 為有限集合，則：

|A\times B|=|A|\cdot|B|

多維擴展可表示為：

A_1\times\cdots\times A_k

關係（Relation）與函數（Function）皆可建立在笛卡兒積上：

R\subseteq A\times B

f\subseteq A\times B

函數與映射（Functions and Mappings）

函數定義（Function Definition）

函數是集合之間滿足單值性（Single-Valuedness）的對應關係：

f:A\to B

函數作用（Function Application）

若 $x\in A$ ，則函數將 $x$ 映射至 $B$ 中的某個元素：

x\in A,\quad f(x)\in B

結構化輸入（Structured Input）

函數的輸入可以是矩陣等數學結構：

f:\mathbb{R}^{m\times n}\to\mathbb{R}

X\in\mathbb{R}^{m\times n}\implies f(X)\in\mathbb{R}

指示函數（Indicator Function）

指示函數將元素是否屬於某集合表示為二元值：

\mathbf{1}_A:\mathcal{X}\to\{0,1\}

\mathbf{1}_A(x)= \begin{cases} 1,&x\in A\\ 0,&x\notin A \end{cases}

連續值映射（Continuous-Valued Mapping）

若輸出為連續區間中的分數或機率，可表示為：

g:\mathcal{X}\to[0,1]

排列組合（Combinatorics）

排列（Permutation）

排列考慮元素的順序。

不重複排列：

P_k^n=\frac{n!}{(n-k)!}

可重複排列：

n^k

組合（Combination）

組合不考慮元素的順序：

C_k^n=\frac{n!}{k!(n-k)!}

其他文章

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筆記內容著重於，電腦科學與人工智慧領域所應用的數學，目的為快速導讀重點脈絡及公式，類似於直式的心智圖，有助於構思規劃學習路線，或是直接查找應用。 $$ A = \begin{bmatrix} a{11} & a{12} & a{13} \end{bmatrix} $$ $$ A = \begin{bmatrix} a{11} \\ a{21} \\ a{31} \end{bmatrix} $$ $

2025-03-19

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2025-03-19

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索引（Index）

用於標示元素或項目的位置。

i \in \mathbb{N}

聚合運算（Aggregation Operators）

總和（Summation）

有限索引區間上的加法運算。

\sum_{i=m}^{n} a_i

乘積（Product）

有限索引區間上的乘法運算。

\prod_{i=m}^{n} a_i

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元素屬於集合的基本關係：

x \in A

全集（Universal Set）

特定問題範疇內的所有元素所形成的集合。

U

空集合（Empty Set）

不包含任何元素的集合。

\emptyset

基數（Cardinality）

集合中元素的數量。

|A|

例如：

A=\{0,1\},\quad |A|=2

有限集合（Finite Set）

若集合的元素數量有限，則可表示為：

|A|=n,\quad n\in\mathbb{N}

集合建構式（Set-Builder Notation）

依據條件定義集合：

A=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}

冪集（Power Set）

集合所有子集所形成的集合。

\mathcal{P}(A)

例如：

A=\{1,2\}

\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}

子集關係（Subset Relations）

子集（Subset）

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表示 $A$ 的所有元素皆屬於 $B$ 。

真子集（Proper Subset）

A\subsetneq B

表示 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A\neq B$ 。

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聯集（Union）

A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ or }x\in B\}

交集（Intersection）

A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\in B\}

差集（Set Difference）

A-B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\notin B\}

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相對於全集 $U$ 的補集：

A^c=\{x\in U\mid x\notin A\}

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A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\;b\in B\}

由於配對具有順序，因此一般而言：

(a,b)\neq(b,a)

若 $A$ 與 $B$ 為有限集合，則：

|A\times B|=|A|\cdot|B|

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關係（Relation）與函數（Function）皆可建立在笛卡兒積上：

R\subseteq A\times B

f\subseteq A\times B

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函數是集合之間滿足單值性（Single-Valuedness）的對應關係：

f:A\to B

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x\in A,\quad f(x)\in B

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f:\mathbb{R}^{m\times n}\to\mathbb{R}

X\in\mathbb{R}^{m\times n}\implies f(X)\in\mathbb{R}

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指示函數將元素是否屬於某集合表示為二元值：

\mathbf{1}_A:\mathcal{X}\to\{0,1\}

\mathbf{1}_A(x)= \begin{cases} 1,&x\in A\\ 0,&x\notin A \end{cases}

連續值映射（Continuous-Valued Mapping）

若輸出為連續區間中的分數或機率，可表示為：

g:\mathcal{X}\to[0,1]

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不重複排列：

P_k^n=\frac{n!}{(n-k)!}

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