2025-03-19

電腦科學數學：離散數學

筆記內容著重於電腦科學與人工智慧領域所使用的數學，依照概念、符號與公式整理重點脈絡，作為快速導讀、學習路線規劃與應用查找的直式索引。

集合論（Set Theory）

集合與元素（Set and Element）

元素屬於集合的基本關係：

x \in A

全集（Universal Set）

特定問題範疇內的所有元素所形成的集合。

U

空集合（Empty Set）

不包含任何元素的集合。

\emptyset

基數（Cardinality）

集合中元素的數量。

|A|

例如：

A=\{0,1\},\quad |A|=2

有限集合（Finite Set）

若集合的元素數量有限，則可表示為：

|A|=n,\quad n\in\mathbb{N}

集合建構式（Set-Builder Notation）

依據條件定義集合：

A=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}

冪集（Power Set）

集合所有子集所形成的集合。

\mathcal{P}(A)

例如：

A=\{1,2\}

\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}

子集關係（Subset Relations）

子集（Subset）

A\subseteq B

表示 $A$ 的所有元素皆屬於 $B$ 。

真子集（Proper Subset）

A\subsetneq B

表示 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A\neq B$ 。

集合運算（Set Operations）

聯集（Union）

A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ or }x\in B\}

交集（Intersection）

A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\in B\}

差集（Set Difference）

A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\notin B\}

補集（Complement）

相對於全集 $U$ 的補集：

A^c=\{x\in U\mid x\notin A\}

笛卡兒積（Cartesian Product）

笛卡兒積描述集合之間的有序配對：

A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\;b\in B\}

由於配對具有順序，因此一般而言：

(a,b)\neq(b,a)

若 $A$ 與 $B$ 為有限集合，則：

|A\times B|=|A|\cdot|B|

多維擴展可表示為：

A_1\times\cdots\times A_k

關係（Relation）與函數（Function）皆可建立在笛卡兒積上：

R\subseteq A\times B

f\subseteq A\times B

函數與映射（Functions and Mappings）

函數定義（Function Definition）

函數是集合之間滿足單值性（Single-Valuedness）的對應關係：

f:A\to B

函數作用（Function Application）

若 $x\in A$ ，則函數將 $x$ 映射至 $B$ 中的某個元素：

x\in A,\quad f(x)\in B

指示函數（Indicator Function）

設 $A$ 為集合。指示函數將元素是否屬於 $A$ 表示為 $1$ 或 $0$ ：

\mathbf{1}_A(x)= \begin{cases} 1,&x\in A,\\ 0,&x\notin A. \end{cases}

排列組合（Combinatorics）

排列（Permutation）

排列考慮元素的順序。

不重複排列：

P_k^n=\frac{n!}{(n-k)!}

可重複排列：

n^k

組合（Combination）

組合不考慮元素的順序：

C_k^n=\frac{n!}{k!(n-k)!}

其他文章

Computer Science Mathematics: Linear Algebra

Note content emphasizes mathematics applied in computer science and AI fields, providing quick reference of key contexts and formulas similar to mind maps, helping learning route planning or direct formula lookup. Matrix notation, vector definitions, matrix operations, determinants, eigenvalues and eigenvectors, and other fundamental linear algebra concepts.

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元素屬於集合的基本關係：

x \in A

全集（Universal Set）

特定問題範疇內的所有元素所形成的集合。

U

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不包含任何元素的集合。

\emptyset

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集合中元素的數量。

|A|

例如：

A=\{0,1\},\quad |A|=2

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若集合的元素數量有限，則可表示為：

|A|=n,\quad n\in\mathbb{N}

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依據條件定義集合：

A=\{x\in\mathbb{R}\mid x>0\}

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集合所有子集所形成的集合。

\mathcal{P}(A)

例如：

A=\{1,2\}

\mathcal{P}(A)=\{\emptyset,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}

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A\subseteq B

表示 $A$ 的所有元素皆屬於 $B$ 。

真子集（Proper Subset）

A\subsetneq B

表示 $A$ 是 $B$ 的子集，且 $A\neq B$ 。

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A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ or }x\in B\}

交集（Intersection）

A\cap B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\in B\}

差集（Set Difference）

A\setminus B=\{x\mid x\in A\text{ and }x\notin B\}

補集（Complement）

相對於全集 $U$ 的補集：

A^c=\{x\in U\mid x\notin A\}

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笛卡兒積描述集合之間的有序配對：

A\times B=\{(a,b)\mid a\in A,\;b\in B\}

由於配對具有順序，因此一般而言：

(a,b)\neq(b,a)

若 $A$ 與 $B$ 為有限集合，則：

|A\times B|=|A|\cdot|B|

多維擴展可表示為：

A_1\times\cdots\times A_k

關係（Relation）與函數（Function）皆可建立在笛卡兒積上：

R\subseteq A\times B

f\subseteq A\times B

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函數定義（Function Definition）

函數是集合之間滿足單值性（Single-Valuedness）的對應關係：

f:A\to B

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若 $x\in A$ ，則函數將 $x$ 映射至 $B$ 中的某個元素：

x\in A,\quad f(x)\in B

指示函數（Indicator Function）

設 $A$ 為集合。指示函數將元素是否屬於 $A$ 表示為 $1$ 或 $0$ ：

\mathbf{1}_A(x)= \begin{cases} 1,&x\in A,\\ 0,&x\notin A. \end{cases}

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排列考慮元素的順序。

不重複排列：

P_k^n=\frac{n!}{(n-k)!}

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