AI 摘要

圖神經網路（Graph Neural Network, GNN）

摘要

圖神經網路（Graph Neural Network, GNN）是一種在圖結構資料上進行表示學習的模型 [1]。其核心在於保留節點、邊與鄰域的拓樸關係，並透過圖上的訊息傳播，使節點表示由局部鄰域逐步更新，最後形成反映整體結構的表示向量。此類模型可處理節點層級與圖層級的預測問題。

問題與表示

圖可表示為 $G=(V,E)$，其中 $V$ 為節點集合，$E$ 為邊集合。節點與邊可以帶有特徵，用於描述局部資訊。

與先將圖轉換為一般向量再處理的方法不同，GNN 直接在圖結構上定義映射，使每個節點的表示由自身特徵與鄰域資訊共同決定。此設定使圖結構成為模型運算的核心對象，而不是被前處理消去的資訊。

核心機制

GNN 的基本機制是訊息在圖上的傳播與聚合。每個節點維持一個狀態，該狀態由自身特徵與鄰居節點的狀態共同決定，並透過反覆更新逐步整合更大範圍的結構資訊。

在全域層次上，所有節點狀態可寫為固定點形式

$$x = F_w(x, l)$$

輸出可寫為

$$o = G_w(x, l_N)$$

此形式描述節點狀態與輸出之間的遞迴關係，使模型透過反覆迭代收斂到穩定解，而非一次前向傳播完成計算

為了保證該遞迴過程收斂，轉移函數需要滿足收縮條件

$$\|F_w(x,l) - F_w(y,l)\| \le \mu \|x - y\|,\quad 0 \le \mu < 1$$

該條件確保固定點存在且唯一，並使迭代過程收斂。在此條件下，可由 Banach fixed point theorem 得到上述收斂性結論

結論

圖神經網路透過在圖上進行遞迴訊息傳播，使節點表示能整合局部與全域結構資訊，形成適用於預測與推理的表示向量。該模型構成表示學習中處理圖結構資料的核心方法，並為圖相關任務提供統一的建模方式。

參考文獻

[1] F. Scarselli, M. Gori, Ah Chung Tsoi, M. Hagenbuchner, and G. Monfardini, ‘The Graph Neural Network Model’, IEEE Trans. Neural Netw., vol. 20, no. 1, pp. 61–80, Jan. 2009, doi: 10.1109/TNN.2008.2005605.