貝葉斯濾波（Bayesian Filtering）
摘要
貝葉斯濾波（Bayesian filtering）是一種在部分可觀測（partially observable）環境中進行動態推論（dynamic inference）的機率框架，其核心目標是在狀態無法直接觀測時，透過時間中的連續觀測維持對隱狀態（hidden states）的機率估計。
與一般貝葉斯推論（Bayesian inference）處理固定資料下的參數更新不同，貝葉斯濾波處理的是隨時間演化的狀態分佈。系統不再只更新單一後驗，而是持續將上一時刻的後驗分佈轉換為下一時刻的先驗，再結合新觀測形成新的後驗。因此其本質是對信念（belief）的遞迴更新（recursive belief updating）。
在部分可觀測馬可夫決策過程（Partially Observable Markov Decision Process, POMDP）中，此後驗分佈可作為信念狀態（belief state），代表代理人（agent）對世界狀態的不確定性描述。貝葉斯濾波因此不只是統計推論方法，也構成在不完全資訊下維持內部世界模型（internal world model）的核心機制。
遞迴分佈更新
當真實狀態不可直接觀測時，推論問題不再是尋找單一狀態，而是維持一個對可能狀態的機率分佈。系統需同時處理兩種變化：
(i) 狀態隨時間演化
(ii) 觀測對信念造成修正
因此貝葉斯濾波建立在兩個核心模型之上：
(i) 狀態轉移模型（state transition model），描述狀態如何隨時間變化
(ii) 觀測模型（observation model），描述觀測如何由狀態產生
在單一步驟中，觀測更新遵循貝葉斯法則：
其中先驗分佈（prior）描述觀測前對狀態的預測，似然函數（likelihood）則描述在特定狀態下產生觀測的合理性，兩者結合形成新的後驗分佈（posterior）。
當系統具有時間演化時，此更新會轉為遞迴形式：
其中：
(i) 為上一時刻的信念分佈
(ii) 為狀態轉移模型
(iii) 為觀測模型
(iv) 為正規化常數
此結構對應兩個連續步驟：
預測（prediction）與修正（correction）。
系統先透過動態模型預測下一時刻狀態，再利用觀測對該預測進行修正。新的後驗分佈則成為下一輪更新的先驗，形成持續循環的信念更新過程。
信念狀態與動態推論
貝葉斯濾波的核心不在於恢復單一真實狀態，而在於維持對狀態的不確定性表示。系統始終保留完整機率分佈，而非直接壓縮為單一估計值，因此能在噪聲、缺失觀測與部分可觀測環境下保持穩定推論。
在 POMDP 中，代理人無法直接觀測真實世界狀態，因此決策需建立在信念狀態（belief state）之上。此時貝葉斯濾波所維持的後驗分佈，實際上構成代理人對世界的內部表示（internal representation）。
從更一般的視角來看，貝葉斯濾波可視為時間序列中的機率信念維持機制，其角色是將觀測、動態系統與不確定性統一於遞迴分佈更新框架中。因此它不僅是狀態估計方法，也構成感知（perception）、推論（inference）與決策（decision）之間的重要橋樑。
